板块模型之水平面和接触面均粗糙的情况

前面刘叔物理讨论过板块模型之水平面光滑的情况，本篇文章将介绍另一种情况—板块模型之水平面和接触面均粗糙的情况，这种情况相对来说比较复杂。

一、木板受到水平拉力的模型

模型：如下图所示，m是小木块，M是长木板，m和M都静止在地面上，m在M的右端，开始时，M受到一个水平向右的力F作用，m、M之间的动摩擦因数为μ1，M与地面间的动摩擦因数为μ2，长木板的长度为L，当力F慢慢增大的过程中，根据m和M相对运动情况，可以分下面几种情况。（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）

（1）当F<μ2(m+M)g时，两者相对地面静止，m不受摩擦力。

（2）当μ2(m+M)g<F≤(μ1+μ2)(m+M)g时，两者相对静止，但相对地面滑动，m会受到向右的摩擦力。

对m受力分析可知，m水平向右的加速度只能由M对其的摩擦力提供，最大值为μ1mg/m=μ1g；对M受力分析可知，M的加速度由m对其的摩擦力、地面对其的摩擦力以及外力F三者的合力提供，因为外力F可以无限大，导致M的加速度可以无限大，所以要使m和M保持相对静止，整体的加速度不能超过μ1g，对整体分析：

F—μ2(m+M)g=(m+M)a，又由a=μ1g，可解得两者保持相对静止时F的最大值为(μ1+μ2)(m+M)g。

（3）当F>(μ1+μ2)(m+M)g时，两者相对滑动，此时M的加速度大于m的加速度，m相对M向左运动，m的加速度为μ1g。

例题：

1、如图所示，将小砝码置于桌面上的薄纸板上，用水平向右的拉力将纸板迅速抽出，砝码的移动很少，几乎观察不到，这就是大家熟悉的惯性演示实验，若砝码和纸板的质量分别为m1和m2，各接触面间的动摩擦因数均为μ．重力加速度为g。

（1）当纸板相对砝码运动时，求纸板所受摩擦力的大小。

（2）要使纸板相对砝码运动，求所需拉力的大小。

（3）本实验中，m1=0.5kg，m2=0.1kg，μ=0.2，砝码与纸板左端的距离d=0.1m，取g=10m/s2，若砝码移动的距离超过l=0.002m，人眼就能感知。为确保实验成功，纸板所需的拉力至少多大？

答案：（1）μ(2m1+m2)g (2)F＞2μ(m1+m2)g (3)22.4N

二、木块受到水平拉力的模型

模型：如下图所示，质量为m的木块放在质量为M的长木板左端，某一时刻开始，M受到一个水平向右的恒力F而向右运动，m与M之间的动摩擦因数为μ1，M与地面之间的动摩擦因数为μ2，试分析，F慢慢增大的过程中，m和M的运动情况。

1、当μ1mg≤μ2(m+M)g时，不论F多大，M都静止。

2、当μ1mg>μ2(m+M)g时

（1）若F<μ2(m+M)g，则两者相对地面静止。

（2）若μ2(m+M)g<F<μ2(m+M)g+，则m、M相对地面运动，但m、M相对静止。

通过对m和M受力分析可知，m的加速度由外力F和M对其的摩擦力的合力提供，可以无限大；M的加速度由地面对其的摩擦力和m对其的摩擦力的合力提供，有最大值a=.

对整体受力分析：F—μ2(m+M)g=(m+M)a。

带入a，可解得两者相对滑动F的最小值为μ2(m+M)g+

（3）若F>μ2(m+M)g+时，两者相对滑动，m带动M，m的加速度大于M的加速度。

例题：

质量为M=1kg的木板静止在粗糙的水平地面上，木板与地面间的动摩擦因数μ1=0.1，在木板的左端放置一个质量m=1kg、大小可以忽略的铁块，铁块与木板间的动摩擦因素μ₂=0.4，取g=10m/s²，试求：

（1）若木板长L=1m，在铁块上加一个水平向右的恒力F=8N，经过多长时间铁块运动到木板的右端？

（2）若在铁块上的右端施加一个大小从零开始连续增加的水平向左的力F，通过分析和计算后，请在图中画出铁块受到木板的摩擦力f2随拉力F大小变化的图像。（设木板足够长）

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