正余弦交流电有效值如何计算，如何推导正余弦交流电的有效值，下面刘叔物理通过四种方法推导正余弦交流电的有效值。
我们知道正余弦交流电电流瞬时值表达式：i=i_m sin ωt，瞬时功率P=(i_m sin ωt)^2R={i^2}_m Rsin^2 ωt .
1.拼凑法
根据正余弦函数关系的特点，对同一个正余弦交流电，在一个周期T内，正弦函数i=i_m sin ωt交流电和余弦函数i=i_m cos ωt交流电产生的热量是相同的。
正弦函数瞬时功率P_1=(i_m sin ωt)^2R={i^2}_m Rsin^2 ωt 。
余弦函数瞬时功率P_2=(i_m cos ωt)^2R={i^2}_m Rcos^2 ωt 。
两式相加可得：P_1+P_2={i^2}_m R恒成立
设在一个周期T内，正弦交流电产生的热量为Q，则正弦和余弦交流电产生的热量和2Q={i^2}_m RT
根据有效值的定义，直流电i_{有效}在交流电周期T内通过电阻R产生的热量Q={i^2_{有效}}RT
可得：2{{i^2}_{有效}}RT={i^2}_m RT，\red{i_{有效}=\cfrac{i_m}{\sqrt{2}}}
2.面积法
我们知道，如果做出某一电阻的功率时间图像，即P-t图像，那么图像与t轴围城的面积为电阻在时间t内产生的热量Q。
我们根据这个做出正弦交流电功率时间图像，即P=(i_m sin ωt)^2R={i^2}_m Rsin^2 ωt 的图像。如下图所示。
上图中的T为正弦交流电的周期，通过对称关系我们很容易看出，在0到\frac{T}{2}时间内，图像与t轴围成的面积和图中三角形的面积相等，所以在一个周期T内，产生的热量在数值上等于上图的两个三角形的面积，即Q=\cfrac{1}{2}{i^2}_m RT
根据有效值的定义，直流电i_{有效}在交流电周期T内通过电阻R产生的热量Q={i^2_{有效}}RT
可得：{{i^2}_{有效}}RT=\cfrac{1}{2}{i^2}_m RT，\red{i_{有效}=\cfrac{i_m}{\sqrt{2}}}
除了做三角形，也可以做一个矩形，使其和图像与t轴围成的面积相等，如下图：
在0到\frac{T}{2}时间内，图像与t轴围成的面积和图中矩形的面积相等，后面的做法和前面三角形一样，就不再赘述。
3.公式计算法
由正弦函数瞬时功率P=(i_m sin ωt)^2R={i^2}_m Rsin^2 ωt 。
其中sin^2 ωt= \cfrac{1-cos2ωt}{2}
可得：P={i^2}_m Rsin^2 ωt= \cfrac{1}{2}{i^2}_m R-\cfrac{1}{2}{i^2}_m Rcos2ωt
通过图像y=cos2ωt图像可知，在交流电的一个周期T内，图像与t轴围成的面积为零，所以一个周期T内产生的热量等价于P= \cfrac{1}{2}{i^2}_m R产生的热量。
即热量Q= \cfrac{1}{2}{i^2}_m RT
根据有效值的定义，直流电i_{有效}在交流电周期T内通过电阻R产生的热量Q={i^2_{有效}}RT
可得：{{i^2}_{有效}}RT=\cfrac{1}{2}{i^2}_m RT，\red{i_{有效}=\cfrac{i_m}{\sqrt{2}}}
4.积分法
正余弦交流电电流瞬时值表达式：i=i_m sin ωt，瞬时功率P=(i_m sin ωt)^2R={i^2}_m Rsin^2 ωt
Q= \int {Pdt}={i^2}_m R\int {sin^2 ωt}dt在0到T时间内积分得：
Q={i^2}_m R\int_{0}^{T}{sin^2 ωt}dt={i^2}_m R\int_{0}^{T} \cfrac{1-cos2ωt}{2}dt \newline = \cfrac{1}{2}{i^2}_m R(\int_{0}^{T}dt-\int_{0}^{T}cos2ωt dt)其中\int_{0}^{T}cos2ωt dt=0
Q=\cfrac{1}{2}{i^2}_m R\int_{0}^{T}dt=\cfrac{1}{2}{i^2}_m RT根据有效值的定义，直流电i_{有效}在交流电周期T内通过电阻R产生的热量Q={i^2_{有效}}RT
可得：{{i^2}_{有效}}RT=\cfrac{1}{2}{i^2}_m RT，\red{i_{有效}=\cfrac{i_m}{\sqrt{2}}}
高中物理知识点总结