质量分布均匀的球壳和球层都球内部物体引力的问题，是万有引力较难的一个运用，考察学生对万有引力的理解能力和微元法思想。
匀质球壳和球层对内部物体引力为零的证明
如图所示，一个质量分布均匀的球壳，在任意位置P处，一质点m所在的位置P为顶点，做两个低面积足够小的对顶圆锥，这时，两圆锥低面不仅可以视为平面，还可以看成质点。
设空腔内一质量为m的质点到圆锥底面中心的距离分别为r1、r2，两圆锥底面半径分别为R1、R2，底面密度为ρ，根据万有引力定律，两圆锥底面对质点的引力可以表示为
设球壳的厚度为d，故质量Δm1=ρπR1²d，Δm2=ρπR2²d
根据三角形相似，对应边成比例可得
得出ΔF1=ΔF2，因此两引力等大反向，所以引力的合力为零。
故在匀质球壳空腔内的任意一点位置，质点受到球壳的万有引力的合力为零。
两个推论：
1、质量分布均匀的球层对球内任意一点的引力为零，一个匀质球层可以等效为许多厚度非常薄的匀质球壳组成，任取一个球壳，对其内部任意位置P的合引力为零，所以，球壳组成的球层对内部任意质点的引力也为零。
2、在匀质球体内部距离球心r处，质点受到的万有引力就等于半径为r的球体的引力，即F’=GM’m/r²
如下图所示，设匀质球体的质量为M，半径为R，其内部半径r处的匀质球体质量为M’，与球心相距r处的一质量为m的质点受到的万有引力可以视为厚度为R—r的匀质球层和半径为r的匀质球体引力的合力，由于匀值球层对内部质点的引力为零，所以质点m受到的万有引力就等于在半径为r的匀质球体表面受到的万有引力，即引力F’=GM’m/r²。
匀质球壳和球层对内部物体引力问题视频
例题：
假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体，一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ A ）
A、1—d/R
B、1 + d/R
C、
D、
解析：由题意可知，物体在地面处的重力加速度可以由g=GM/R²，根据上面推论二可得矿井底部的重力加速度g’=GM’/(R-d)²，根据球体的质量M=ρ(4/3)πR³，可得M’/M=(R-d)³/R³，从而g’/g=1—d/R
高中物理知识点总结
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