四种方法推导正余弦交流电有效值

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正余弦交流电有效值如何计算,如何推导正余弦交流电的有效值,下面刘叔物理通过四种方法推导正余弦交流电的有效值。

我们知道正余弦交流电电流瞬时值表达式:i=i_m sin ωt,瞬时功率P=(i_m sin ωt)^2R={i^2}_m Rsin^2 ωt .

1.拼凑法

根据正余弦函数关系的特点,对同一个正余弦交流电,在一个周期T内,正弦函数i=i_m sin ωt交流电和余弦函数i=i_m cos ωt交流电产生的热量是相同的。

正弦函数瞬时功率P_1=(i_m sin ωt)^2R={i^2}_m Rsin^2 ωt

余弦函数瞬时功率P_2=(i_m cos ωt)^2R={i^2}_m Rcos^2 ωt

两式相加可得:P_1+P_2={i^2}_m R恒成立

设在一个周期T内,正弦交流电产生的热量为Q,则正弦和余弦交流电产生的热量和2Q={i^2}_m RT

根据有效值的定义,直流电i_{有效}在交流电周期T内通过电阻R产生的热量Q={i^2_{有效}}RT

可得:2{{i^2}_{有效}}RT={i^2}_m RT\red{i_{有效}=\cfrac{i_m}{\sqrt{2}}}

2.面积法

我们知道,如果做出某一电阻的功率时间图像,即P-t图像,那么图像与t轴围城的面积为电阻在时间t内产生的热量Q。

我们根据这个做出正弦交流电功率时间图像,即P=(i_m sin ωt)^2R={i^2}_m Rsin^2 ωt 的图像。如下图所示。

上图中的T为正弦交流电的周期,通过对称关系我们很容易看出,在0\frac{T}{2}时间内,图像与t轴围成的面积和图中三角形的面积相等,所以在一个周期T内,产生的热量在数值上等于上图的两个三角形的面积,即Q=\cfrac{1}{2}{i^2}_m RT

根据有效值的定义,直流电i_{有效}在交流电周期T内通过电阻R产生的热量Q={i^2_{有效}}RT

可得:{{i^2}_{有效}}RT=\cfrac{1}{2}{i^2}_m RT\red{i_{有效}=\cfrac{i_m}{\sqrt{2}}}

除了做三角形,也可以做一个矩形,使其和图像与t轴围成的面积相等,如下图:

0\frac{T}{2}时间内,图像与t轴围成的面积和图中矩形的面积相等,后面的做法和前面三角形一样,就不再赘述。

3.公式计算法

由正弦函数瞬时功率P=(i_m sin ωt)^2R={i^2}_m Rsin^2 ωt

其中sin^2 ωt= \cfrac{1-cos2ωt}{2}

可得:P={i^2}_m Rsin^2 ωt= \cfrac{1}{2}{i^2}_m R-\cfrac{1}{2}{i^2}_m Rcos2ωt

通过图像y=cos2ωt图像可知,在交流电的一个周期T内,图像与t轴围成的面积为零,所以一个周期T内产生的热量等价于P= \cfrac{1}{2}{i^2}_m R产生的热量。

即热量Q= \cfrac{1}{2}{i^2}_m RT

根据有效值的定义,直流电i_{有效}在交流电周期T内通过电阻R产生的热量Q={i^2_{有效}}RT

可得:{{i^2}_{有效}}RT=\cfrac{1}{2}{i^2}_m RT\red{i_{有效}=\cfrac{i_m}{\sqrt{2}}}

4.积分法

正余弦交流电电流瞬时值表达式:i=i_m sin ωt,瞬时功率P=(i_m sin ωt)^2R={i^2}_m Rsin^2 ωt

Q= \int {Pdt}={i^2}_m R\int {sin^2 ωt}dt

0T时间内积分得:

Q={i^2}_m R\int_{0}^{T}{sin^2 ωt}dt={i^2}_m R\int_{0}^{T} \cfrac{1-cos2ωt}{2}dt \newline = \cfrac{1}{2}{i^2}_m R(\int_{0}^{T}dt-\int_{0}^{T}cos2ωt dt)

其中\int_{0}^{T}cos2ωt dt=0

Q=\cfrac{1}{2}{i^2}_m R\int_{0}^{T}dt=\cfrac{1}{2}{i^2}_m RT

根据有效值的定义,直流电i_{有效}在交流电周期T内通过电阻R产生的热量Q={i^2_{有效}}RT

可得:{{i^2}_{有效}}RT=\cfrac{1}{2}{i^2}_m RT\red{i_{有效}=\cfrac{i_m}{\sqrt{2}}}


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